第二章、繼續GPS的故事

 

我們現在可以涉略一些技術了,前章中我們曾提到衛星和接收機的測距碼必須準確調整並對時,但我們如何才能確定所有的GPS衛星與接收機都會如前章所假定的絲毫不差地同步呢?

假使我們的系統只偏差了一毫秒(千分之一秒),由於光速是以每秒186,000英哩或300,000公里行進,我們的距離量度就會差了186英哩(300公里)之遠,這是無可容忍的差錯!

還好,所有的衛星上都有原子鐘(Atomic Clock),這種時鐘極為昂貴且準確,每一個約值10萬多美元,每顆衛星都載著幾個原子鐘,以確保至少有一個正常運作。至於我們在地面上的GPS接收機只能有石英鐘,和手錶一樣,他們無法達到所需的準確度。幸虧,額外的一個距離量度可彌補不完美的接收機時間。在三度空間中有三個未知的座標即X、Y、Z需被決定。我們的中學數學說明了三個獨立的方程式可解三個未知數。從三個GPS衛星得到三個距離量度,可設定所需的三個方程式,然而我們又多了一個時間偏差的未知數,以Terror表示之。所以我們需要從第四個GPS衛星求得另一距離量度以建立第四個方程式。如此,可用四個方程式解出四個未知數X、Y、Z和Terror時間偏差,如圖2-1所示。對人腦而言,求解此四個方程式可不容易,幸而先前所提及的微電腦上執行的軟體卻能輕易迅速解決這種數學問題。

因而我們求得了正確的位置(X、Y、Z)和時間,求得準確的時間有如GPS系統額外的用途。許多通訊或其他的應用需此準確的時間。例如,資料通訊網路的控制,跳頻通訊,和(TDMA Time Division Multiple Access)系統中準確的時間才能使所有的使用者同步,也有些GPS接收機是專門用來粹取這正確的時間。

 

 

他們不必固定不動

我們用福爾摩斯先生的大笨鐘定位系統比對GPS的方式可能會誤導了你以為GPS衛星是在固定軌道(Stationary Orbit)上,因為大笨鐘一直都在已知且固定的地方。(固定軌道也叫做同步軌道Synchronous Orbit,在該軌道的衛星以24小時環繞著地球轉,和地球的自轉同方向同速度,因此地面上的人看到的同步衛星是在天空中一固定的位置)

其實,如果我們能一直預知訊號源的位置和運動狀態的話,訊號源大可不必如大笨鐘一樣固定在同一地點。還好,衛星繞地球運行的軌道是很容易預知的。從前有個了不起的德國數學家兼天文學家叫做約翰•刻卜勒(Johannes Kepler 1571-1630)已解決了數學理論的問題。他發現了天體運動的方程式和定律。如:月亮環繞地球、行星繞太陽等等。人造衛星亦遵循著刻卜勒定律。

當然,牛頓(Sir Isaac Newton 1642-1727)和愛因斯坦(Albert Einstein 1879-1955)的劃時代成就也對GPS的來龍去脈有所貢獻。我們將於往後的章節再述說這些故事。的確,有些複雜的方程需要解出答案。在你接收機裡的微電腦能夠每秒執行上百萬指令(MIPS),藉著軟體程式中的刻卜勒數學公式也能即刻算出衛星的位置。

對人類而言這種極為困難的計算工作對計算機和軟體工程卻是易如反掌,因為計算機是以宇宙之速率極限,即光速,為您工作,所以不論這種計算過程有多麼複雜困難,計算機只需一霎那就可完成。

由於已知了GPS衛星軌道,衛星會播放星曆資料(Almanac)包含刻卜勒軌道資料,該資料可預知GPS衛星於每一時刻之位置,您的GPS接收機讀進這些星曆資料並寫入它的非揮發性記憶體(Non-Volatile Memory)中,既使關機後接收機也不會忘記這些星曆資料。因此我們得知GPS衛星不僅放送測距用的偽亂碼,它們也播放其他如軌道位置的資料訊息。

 

 

為什麼不?

也許你想知道為什麼不用固定軌道呢?

有幾個原因如下:首先,固定軌道必須在赤道之正上方,兩極附近的使用者很難看見固定軌道上的衛星,見圖2-3。

若所有的衛星都在同一平面上,如圖2-3則叫做很高的精確度淡化(Dilution of Precision DOP),而很難算出正確位置。

GPS衛星由如圖2-4所繪,它們均勻地分佈在全球每一角落之上空,週期約12小時。

再者,衛星群需經常由美國國防部所運作的一些地面站所監控,互通訊息。地面設施須要每天能看見它們兩次以便檢查它們的位置、時鐘和健康情形,上載資料以供播放給我們使用者。

地面監控設施亦需精確地推算出衛星的位置和速度,由於軌道會因太陽風、月亮或太陽之引力造成微量的變異,這種微量的軌道和時鐘之變異由一組衛星軌道參數(Parameter)修正之,叫做精確軌道資料(Ephemeris)。

雖然這些軌道的變異量都很小,它們仍需由地面監控設施修正之,以便GPS接收機做準確的定位計算,所以衛星也廣播精確軌道的資料以供你的接收機處理。

如果監控部份測得GPS衛星偏離了預測的軌道。它會上載(upload)新的精確軌道資料至衛星上以供廣播其修正量。所以運作的方式通常不是操縱衛星回到預測的正確刻卜勒軌道上,操縱衛星對有限的燃料資源與控制都是負擔。由於軌道的變異極為微小,只有在監控部份很難預測衛星軌道參數時,才會去操縱衛星。

 

GPS系統整體

至此我們該有一清楚的系統概念了。GPS社圈有三個部份:有使用者部份好像你,有太空部份好像衛星,還有監控部份就是地面的監控站,如圖2-5。

GPS共有6個軌道,每個軌道上有4個衛星,每一軌道面都和地球的赤道面呈55度之夾角。軌道距地球表面有20,190公里,天空中共有24顆衛星。

GPS的監控部份含五個監視站,四個地面資料上載站和運作控制中心。這些地面設施都是選在適當的經度區間距離。

 

 

都卜勒效應

由於GPS衛星不在固定軌道上,所以衛星和你會有相對速度,這就會造成所謂的都卜勒效應(Doppler Effect)。

您也許已經很熟悉高速向你接近又與離你遠去的救護車警笛聲的高低改變。當音源向你接近時,音調(頻率)變高了。當它經過你身旁時,聲音音調很明顯地降低了,並一直保持低音調離你遠去。您所聽到的警笛音調高低的改變就叫做音波的都卜勒效應。它的起因是你和救護車之間的相對運動。

另一種都卜勒效應現象並不常發生,但對少數人非常有用,遭到砲轟的士兵都學會分辨出迎頭飛來的砲彈會發出尖銳嘶聲,尚有一瞬間的機會可就地掩避,而敢不理會那些落點較遠的砲彈,因為那些砲彈飛行時的嘶聲音調比較低。見圖2-7。

圖2-7,這是一顆155毫米榴砲彈,落地前一瞬間發出尖叫般的嘶嘶聲,距離我們的掩體五公尺。那時雙方都以宣傳彈互擊,堶捷赮▲Ё璁茷D高爆葯。若是真貨我就沒機會學到都卜勒效應了。

 

如果波源(發射機)和觀測者(接收機)之間有相對運動,無線電波或光波的頻率也會被偏移。GPS衛星送出的微波訊號頻率亦由於你的接收機與衛星間的相對運動而被改變偏移了。

這種頻率的改變或都卜勒偏移量與我們在前一章所述的測距碼時間延遲的量度是不相干的。你的GPS接收機很容易偵測出這個都卜勒偏移量,它是一種非常管用的量度,可以決定你的速度和運動方向或頭向。這又是一項GPS軌道比固定軌道好的原因。

請注意如果衛星在接收機的正上方時,衛星速度向量與視線相垂直。在那一刻就沒有相對運動也沒有都卜勒偏移了,請參考第四章的圖4-1。為了要量到每秒幾公分的精確速度,需要數公分的波長,所以GPS用微波,微波的波長在幾公分左右。

美國海軍的TRANSIT是早一代的衛星定位系統,它只利用都卜勒偏移量度來決定使用者的位置,該系統至今仍在使用中。由於接收機本身的運動也會改變都卜勒偏移量,而產生了誤差。這種定位系統對使用者的運動太過敏感而不適合做飛機導航。

現代的天文學家也用都卜勒偏移量以決定遙遠的星系離我們遠去的速度有多快,他們發現了愈遠的星系遠離速度則愈快,因而有宇宙膨脹之說,再而推導出宇宙大爆炸的理論。

我們知道由太空梭所送上去的哈柏太空天文望遠鏡近來有不少重要的宇宙新發現。該望遠鏡是因美國天文學家哈柏(1889-1953)而命名。他做了許多都卜勒觀測而導出了距離與都卜勒偏移的關係定律。

 

 

雷達與聲納

現在我們稍事說明一下其他眾所周知的測距科技。雷達和聲納已存一段時間了。從它們首次部署使用以來就在現代史上有著重要的地位。有人說這些科技在英倫保衛戰中救了英國。(因此我們的最佳主角〞大笨鐘〞在空襲中很幸運地未受損傷)。由於雷達有助於高效率的空戰指揮和戰術,聲納破除了潛艇在海上的封鎖。德國空軍無法取得空中優勢,狼群式的潛艇戰術亦無法阻絕海上往英國的補給線,因此未有進佔英倫諸島之役。到今天雷達和聲納仍在國防、空中交通管理與安全、海洋資源研究等領域中提供所需。

雷達(RADAR)原意無線電偵察與測距,聲納(SONAR)原意聲音領航與測距。都不需GPS的同步測距碼一般的巧妙戲法。它們放送出高功率的脈動波,偵測出從目標反射回來的波動,而決定距目標的距離。由於反射波已行進了去回兩趟行程,所以距離是延遲時間的一半乘以波速,它們用非常直接的方法且基本上沒有通訊的界入。

 

 

巧妙的GPS

GPS測距,則是一種單向的通訊系統和測距技術,(先前曾提過衛星播放資料訊息並送出測距碼),它的訊號功率極低,低到訊號其實已被埋在自然界的無線電背景雜訊下,GPS接收機用一種非常巧妙的展頻通訊(Spread Spectrum)技術,以偽亂碼還原衛星送來的微弱訊號,展頻通訊也用於探測太陽系中遙遠行星的太空船,由於外太空距地球實在太遠了,訊號強度到達地球時也已衰減至比背景雜訊還弱。由數學的關係得知,訊號的強度與距離的平方成反比,好像引力、亮度等等,是三度空間(3-Dimension)的現象。

展頻通訊和偽亂碼技術就是可以放大並還原這種微弱訊號。它有放大訊號的效果,因此微弱訊號可被接收端所收聽到。

這又是偽亂碼的好處之一,我們又知道了GPS系統中這種偽亂碼的另一功能,其他兩種功能我們已在第一章提到過,就是用以決定延遲時間和衛星的識別碼。

展頻通訊法似乎可自行放大,又不用高功率,也不需像衛星電視又大又貴的碟形天線瞄準到電視衛星的方向,以便衛星電視接收機集中其訊號。GPS接收機的天線非常小,它也不用瞄準什麼GPS衛星,這叫做全向性天線。想像一下如果GPS接收天線也得同時瞄準4顆以上,又在運動中的GPS衛星那真是使用操作上的惡夢。

 

 

白吃的午餐?

你也許在想,如果展頻通訊技術這麼好,為什麼電視衛星不用同一種方法?這是所謂〞天下沒有白吃的午餐〞的道理,偽亂碼的原理與方法需要耗時間做比對工作。這是一種又慢又拙的過程,因此資料傳送速率很慢。GPS衛星傳送資料訊息的速度只有每秒50位元(bits),需12分半鐘才能送完一整份GPS資料。這對電視訊號來說實在是太慢了,電視需很高的傳輸速率或頻寬傳送。換句話說,展頻偽亂碼的通訊技術犧牲了資料傳輸速率以換得其低功率性能和全向天線之特性,其實是因應實際所需的一種折衷法。

 

 

第三章、一些細節

 

前章中我們說到福爾摩斯先生聽鐘響並注意到其聲響的樣式而知道距離。你的GPS接收機以驚人複雜的硬體電子電路偵測到極微弱的GPS衛星訊號並由非常精靈的軟體分析訊號而計算距離。所以你也認為GPS接收機必定所費不貲。的確在1980年代,正當GPS尚在發展和部署的早期,它對消費者而言是昂貴極了。

 

 

工業的趨勢

在即將轉入下一世紀的今天,我們買得到功能更多,應用更廣又便宜的GPS接收機。其價格每年還在下滑。可以肯定最近的未來仍會繼續下降,但為什麼它會和其他消費電子產品一樣便宜?

 

 

硬體

由於半導體和微電子設計自動化(Design Automation)在這二、三十年來的進展,複雜的電子電路可整合至一片比指甲還小的晶片上。單一晶片上的微縮電子電路叫做積體電路IC,如果一IC是為某種特定應用而定做則叫特定應用積體電路ASIC (Application Specific IC),若能大量製造ASIC,則每一單價就會很低。這也是為什麼會有許多智慧型的家電產品,只要GPS的使用者繼續成長,接收機硬體費用就會下降。

 

 

軟體

你也許會覺得很意外GPS接收機的軟體會耗費上百人年的軟體工程和發展經驗累積,但這種花費不必重複,它和硬體製造不同,一但軟體完成且除錯(Debug)後,不論複製多少都不用再花錢了。軟體發展的昂貴費用會被大量的使用者分攤掉。

順便一提,近年來大多的GPS接收機軟體都是由工業界廣泛使用的C語言所撰寫。自一九八○年中期,學校都有C程式語言的課程。

 

 

從畢氏定理(Pythagoras Theorem)

我們在前章中也曾提到GPS內部的基本原理和一些細節,就是用衛星當參考點做三角測量出在地球上,或空中甚至在太空中的位置。我們知道所有GPS衛星在軌道上的位置,就可由他們的所在做三角測量出我們的所在。三角測量法(Triangulation) 和GPS計算位置用的笛卡爾座標系統(Cartesian Coordinate System)都基於畢氏定理,是直角三角形獨有的特性,其三邊長度的關係是a2+b2=c2如圖3-1。

 

 

精確更精確

因為全球定位系統是設計成有潛力準確到英吋的範圍,所以衛星資料訊息和接收機都得能照顧到極微小的誤差。

我們在此討論地球不完美的自轉,大氣效應和GPS時間。

 

艾薩克牛頓公爵不僅發現了萬有引力定律,他也知道地球自轉的歲差(前進差Precession),就好像在轉動的陀螺受到了力或扭力的作用,旋轉軸會傾斜並改變方向,並在空間描出一個圓,見圖3-2,地球的歲差週期非常慢,要兩萬六仟年之久,這會造成春分線(Vernal Equinox見附錄A 與上頁圖),慢慢向西移動,每年有50.27弧秒,或每百年1.39697128弧度。自從兩千年前希臘天文家Hipparchus以希臘神話和古代的傳說命名了黃道十二宮(星座)以來。歲差已使春分線從白羊座移到雙魚座。

假若是別人發現了地球自轉有前進差而造成春分線的移動,且就只發現這麼一樣,他就會被我們尊為歷代偉大物理學家之一。但很有趣又令人奇怪的是牛頓貫通了地球的歲差和當時的天文界懸案,即春秋分線的飄移。又解釋它,還計算了出來,這些都好像在他豐富的成就中消失不見了。人們也許視以為理所當然而忽略了在那時候的意義和困難度。

歲差和其他地球自轉的不規則性會影響到衛星在軌道上的位置,而GPS衛星廣播的資料中有其修正量,你接收機的軟體程式用這修正資料去微調位置的計算。

 

 

大氣層影響GPS

本書的一開始說到了無線電波、微波、可見光、X-光…等等都是不同形態的電磁波,所以行進速度都一樣。它們只是頻率不同,如圖3-3描繪光譜圖。蘇格蘭物理學家詹姆士.C.馬克斯威爾(1831-1879)僅從他的理論推導,就斷定此一事實。

至此,我們都假設衛星放送的無線電訊號以光速常數C=2.99792458×108公尺/秒行進(GPS系統規格都是用最精確值)。但是這個光速是在真空或太空的光速,當衛星的訊號進入大氣層不同的介質中光速將受到影響,有如太陽光被菱鏡所折射產生的色散現象(Dispersion)是因為光速在玻璃中不同,見圖3-4。

牛頓發現這些色散現象,紅色被折射得較紫色少,可見光中紅光頻率最低,紫光頻率最高。就是說低頻訊號較高頻訊號折射少,這種現象可解釋為不同頻率的波速在菱鏡玻璃減慢程度不同。

我們的GPS微波訊號進入大氣層時也被折射和減慢,大氣產生的誤差可分為電離層和對流層。主要的誤差來自80至200英哩高空中的一層帶電粒子,叫電離層。由於太陽照射的能量不同,電離層中帶電粒子的密度隨日夜、季節都有所改變。因為無線電訊號之延遲,和帶電粒子密度的關係多少可以預測,有些民用的GPS接收機使用衛星廣播的數學延遲模式計算之以減輕誤差。

有個更好的方法可量出無線電訊號延遲,是利用兩個頻率不同的訊號。就如色散,低頻的紅色較高頻的紫色折射少些,由於低頻的部分較高頻的部分被減慢較多。有個公式可敘述這現象,訊號速度減慢的程度與其頻率之平方成反比。軍用的或高級雙頻接收機利用這種方法決定電離層的誤差。

GPS衛星以兩個頻率廣播L1在1575.42百萬赫,L2在1227.6百萬赫,雙頻接收機可收到兩者以用做電離層修正。用這種方法可消除掉大部分電離層的誤差,但多數民用的接收機只能收到L1頻率是由於雙頻接收機價格太高。

我們氣候的變化是在對流層,水氣也會影響訊號,對流層的延遲也可用數學模式近似之。軟體的運算法則(Algorithm)用這些數學模式調整大氣層對位置計算的影響。

 

GPS時間

我們討論過精確的衛星時鐘和時間量度是GPS定位準確的關鍵。GPS時間基於標準的原子時間,但它和UTC不同,GPS時間是連續的沒有插入閏秒(Leap Second),是因為GPS無法容忍不連續的時間計數,GPS衛星廣播的導航資料也有GPS時間的修正參數。

下章中我們要討論更多的時間和不同的時間。